L'objet de cette ressource est l'étude des systèmes physiques, de type mécanique, électrique ou microscopique, se comportant comme des oscillateurs libres et décrits par le modèle de l'oscillateur harmonique.
Prérequis indispensables :
Objectifs :
Temps de travail prévu : 80 minutes
Sommaire :
La variable caractéristique du système physique étudié est notée d'une façon générale q lorsque le type du système (mécanique, électrique...) n'est pas précisé.
Suivant le type de système, q représente la position d'un point matériel, une intensité ou une tension électrique, la charge portée par un condensateur, un moment dipolaire, une densité moyenne d'électrons dans un plasma...
Lorsque le type du système est défini, la notation correspondante de q est utilisée.
La fonction 
décrit l'évolution du système au cours du temps.
Les dérivations première et seconde par rapport au temps sont notées respectivement :
Considérons un système physique à un degré de liberté dont les oscillations au cours du temps sont décrites par la variable dynamique , le système constitue un oscillateur harmonique si satisfait à l'équation différentielle :
est une constante positive appelée pulsation propre, caractéristique de l'oscillateur, elle s'exprime en 
.
La solution de l'équation différentielle (ou réponse de l'oscillateur) décrit les oscillations libres du système. q s'exprime en unité SI de la grandeur physique représentée.
Mathématiquement, l'équation précédente 
est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, de forme générale :
En identifiant terme à terme les deux types d'équations mathématique et physique, il vient : 
, 
, 
et 
.
L'expression de la solution générale se déduit de la résolution de l'équation , que l'on suppose connue. On rappelle que le discriminant de l'équation caractéristique associé à l'équation différentielle s'écrit 
.
On pose habituellement 
et 
, soit ici 
. On constate que 
est toujours négatif.
Cette résolution montre que s'écrit sous l'une des trois formes équivalentes suivantes :
On constate que dépend de deux constantes 
, 
ou 
. Il faut se donner deux relations pour les déterminer. La réponse est alors unique.
Dans un problème physique, ces deux relations décrivent l'état initial du système, elles sont appelées conditions initiales, elles s'écrivent, à 
:
La réponse est harmonique. On retrouve la définition de l'oscillateur harmonique donné dans l'introduction. 
et 
représentent respectivement l'amplitude et la phase initiale de la loi de période propre 
. Au point de vue des unités, s'exprime avec la même unité que q, et T s'expriment respectivement en radian et en seconde.
Réponse d'un oscillateur harmonique de pulsation propre
|
Les conditions initiales choisies sont : |
 |
Relation entre les constantes
En développant 
et en identifiant terme à terme les deux premières solutions de on obtient les relations : 
et 
.
On en déduit : 
et 
.
Autre relation : 
.
Propriété de l'oscillateur harmonique
La période 
est indépendante de l'amplitude des oscillations. Il y a isochronisme des oscillations.
|
Remarque : résolution de l'équation différentielle Rappelons que l'on montre en mathématique que la solution générale d'une équation différentielle telle que On retrouve de façon simple l'expression de |
A l'instant initial, l'excitation fournit au système une quantité d'énergie, le système est mis en oscillation.
L'énergie totale de l'oscillateur harmonique est constante au cours du temps. Sa valeur est fonction des conditions initiales.
Le modèle de l'oscillateur harmonique ne prend pas en compte les phénomènes éventuels de perte d'énergie du système.
Le ressort est caractérisé par sa raideur k et par sa longueur à vide (sans déformation) 
; son extrémité 
est fixe, la masse m est accrochée à l'extrémité O. La masse du ressort est négligeable et son élasticité parfaite (
).
La masse m est assimilée à un point matériel ; on suppose qu'elle ne peut se déplacer que suivant une direction horizontale définie par l'axe du ressort et sans frottement.
Les positions sont repérées sur l'axe 
comme indiqué sur la figure, le référentiel est galiléen.
A l'équilibre :
La longueur du ressort à l'équilibre est 
, repérée sur l'axe .
La masse m est immobile en O, position d'équilibre. Remarquons que 
.
La force de pesanteur 
et la réaction normale 
s'équilibrent : 
.
Mise en mouvement de l'oscillateur :
On écarte la masse m de O en A, 
, et on l'abandonne à elle-même :
soit sans vitesse initiale :
,
soit avec une vitesse initiale, positive ou négative :
.
En résumé, les conditions initiales sont notées 
.
En mouvement :
La masse m effectue un mouvement d'oscillations horizontales de part et d'autre de la position d'équilibre, entre A et A' si 
, entre 
et 
si 
, entre 
et 
si 
.
A un instant t, la masse m est en M, on repère sa position par rapport à O en posant 
. La longueur instantanée du ressort est 
. L'allongement instantané du ressort est 
.
Dans le cas de ce système, l'abscisse 
représente également l'élongation du ressort.
|
Le ressort exerce sur m la force de rappel, ou force élastique, |
Soit : 
ou ici 
ou encore 
.
M étant à droite de O, est positif, le ressort est étiré et 
.
M étant à gauche de O, est négatif, le ressort est comprimé et 
.
Le coefficient de proportionnalité k est la raideur du ressort.
Détermination de la réponse de l'oscillateur :
Appliquons le « Principe fondamental de la dynamique » à la masse m : 
, 
désignant le vecteur accélération de m.
Exprimons les forces et l'accélération en fonction des vecteurs directeurs 
et 
des directions horizontale et verticale habituelles :
(avec 
accélération de la pesanteur, 
orienté vers le bas).
(le mouvement se fait sans frottement : la réaction du support est normale au déplacement et orientée vers le haut).
(le mouvement ayant lieu suivant la direction 
, l'accélération est dirigée suivant ).
En projetant l'équation vectorielle sur les axes et , on obtient les deux équations scalaires suivantes :
On pose 
, l'équation précédente est du type oscillateur harmonique de pulsation propre 
.
La réponse de l'oscillateur s'écrit : 
.
Calcul des constantes 
et en fonction des conditions initiales 
et .
Exprimons la condition sur la position : 
.
Exprimons la condition sur la vitesse, sachant que 
, il vient 
.
On en déduit les deux équations 
et 
.
Finalement sachant que 
et 
, il vient :
( étant déterminé à 
prés à partir de la tangente, il faut tenir compte du signe de , 
et 
pouvant être positifs, négatifs ou nuls pour donner la valeur exacte de ).
La réponse est déterminée.
L'énergie totale ou énergie mécanique, notée E, de l'oscillateur harmonique de type mécanique étudié, est égale à la somme des énergies cinétique et potentielle de la masse m, notées respectivement 
et 
, étant l'énergie potentielle associée à la force de rappel du ressort, soit :
(l'origine des l'énergies potentielles est choisie ici en 
)
Comme 
et 
, on en déduit 
(avec 
).
Finalement, 
(en rappelant que 
).
|
L'énergie mécanique du système est égale à une constante, notée Cette propriété est générale : quelque soit le type de système, l'énergie totale d'un système se comportant comme un oscillateur harmonique se conserve au cours des oscillations. |
Graphes des fonctions 
, 
et 
:
Les conditions initiales choisies sont 
et 
.
|
Les énergies cinétique et potentielle varient en fonction du temps, leur somme restant constante. Il y a, à tout instant, transformation d'énergie d'un type à l'autre. |
 |
|
|
 |
Les positions sont définies par rapport aux positions d'équilibre.
Système [masse, ressort] vertical
et 
désignent respectivement les longueurs à vide et à l'équilibre, du ressort. Posons 
(avec 
), on montre que 
la pulsation propre étant 
.
Pendule simple [fil de longueur constante, masse m]
|
Plusieurs méthodes conduisent à l'équation de l'oscillateur. L'une d'elle consiste à appliquer le théorème du moment cinétique calculé par rapport au point O, les forces appliquées à la masse étant le poids
La masse m décrivant un arc de cercle de centre O et de rayon l et en exprimant la vitesse et l'accélération de m dans le repère polaire, on obtient l'équation satisfaite par la variable En considérant l'approximation des petits angles, |
 |
Pendule de torsion [tige déformable, masses m]
Désignons par C la constante de torsion de la tige et par I le moment d'inertie. On montre que : 
.
Conditions initiales
Le condensateur est chargé de telle façon que 
soit la charge de l'armature positive (rappelons que 
) ; l'interrupteur étant ouvert, l'intensité initiale est nulle 
. A l'instant initial le circuit est fermé.
Mise en équation du système, équation en charge
|
Désignons à un instant t par |
 |
En choisissant les tensions et l'intensité instantanées comme indiqué sur le schéma et en exprimant la loi d'Ohm aux bornes des dipôles L et C, (compte tenu des conventions de signes des circuits électriques), il vient :
Sachant que 
, on en déduit 
et 
.
On en déduit facilement l'équation en q : 
ou 
Cette équation est du type oscillateur harmonique, de pulsation propre 
, de solution générale 
et compte tenu des conditions initiales la solution finale s'écrit 
.
La charge oscille entre les valeurs 
et 
, le condensateur se décharge et se charge alternativement, d'où le nom de circuit oscillant (remarquons qu'il n'y a pas de résistance dans le circuit, il n'y a pas d'amortissement).
Autres expressions
On déduit des résultats précédents les équations :
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|
|
Rappelons les équations différentielles décrivant respectivement les oscillateurs mécanique et électrique décrits précédemment : 
et 
.
En comparant ces deux équations différentielles, on déduit l'analogie entre les deux types d'oscillateurs, c'est-à-dire les correspondances :
Pour les pulsations propres 
Par suite sachant que 
, on déduit l'analogie au point de vue des énergies :
, on montre dans ce cas que 
et 
et par suite 
(ou 
et 
. Dans le cas considéré, on vérifie facilement que les fonctions 
et 
définies par 
et 
, satisfont à ces conditions. La solution générale s'écrit donc 
.
proportionnelle et de sens opposé à l'allongement (Loi de Hooke).
, dont la valeur est déterminée par les conditions initiales : 
, valeur égale à 
ou à 
.
et 
et de valeur moyenne 
.
, les oscillations de m sont limitées à ce domaine.
du fil, il vient :
: 
soit 
.
, l'équation devient : 
équation d'un oscillateur harmonique de pulsation propre 
(g étant l'accélération de la pesanteur).
l'intensité du circuit et par 
et 
les tensions respectives aux bornes de L et de C.
(équation en i)
(équation en 
)